Não precisa re-enrolar, é só mudar a ligação das bobinas.  O motor da direita tem um plug de 6 fios não é?

Ok.

 Você quer ligar o motor em qual tensão? Ele é mono ou trifásico?

Cássio o motor é mono-fasico, mas a minha duvida é a seguinte, existe forma de enrolar algum tipo de motor a fim de variar a tensão de acionamento dele ?

por ex, eu posso pegar um trafo de 220V 1000W e transformar em um de 12V 1000W..

tem alguma forma de fazer a mesma coisa com algum tipo de motor (seja ele trifasico, pentafasico, ac/dc,com ou sem escova etc) ?

variar velocidade de motor eh possivel, porem tem limitacoes.
em um motor de ima permanente (DC) vc varia a tensao e com isso varia a rotacao maxima que eh detrerminada pelo tipo de construcao do induzido entre outros detalhes.
em um motor AC, o mais viavel eh usar motor trifasico com inversor (mono para trifasico), assim vc varia a velocidade do motor e consegue uma boa relacao velocidade/torque.
nesse motor que vc mostrou, ele usa unm capacitor para criar uma psdeudo-terceira fase, enbtao esse motor vc conseguye variar a velocidade usando um DIMMER (picotador de senoide), mas o torque fica prejudicado.