Pitacos, Pitacos, Pitacos de Piracicaba (acho que é Pamonha, né?)...
Não consegui ver o vídeo, mas nem precisa: pelo jeito a furadeira deve ser daquelas que tem o trec-trec para furar paredes.
Realmente a folga axial é fenomenal e, se for bastante usada, a radial é até pior.
Seria melhor se fosse uma furadeira SEM IMPACTO, no estilo INDUSTRIAL, não para concreto (os reforços são para Rudolf, desculpem as maiusculas).
A solução mais imediata é o eixo com mandril independente, conforme sugerido pelo Mestre Gilii.
Quanto ao escariamento do furo...
Eu tenho uma broca escariadora, que adquiri em casa especializada em MDF (Lolata deve conhecer).
Ela faz toda a operação de uma vez: fura, alarga a primeira chapa e escaria o encaixe do "tampa-parafusos" (isso para MDF).
Nas fotos, verão que é um escariador, escalonado, e tem um parafuso allen para prender e ajustar a broca (ajustando a profundidade e permitindo a substituição, em caso de quebra).
No caso do Mestre Rudolf, será necessário tornear o escariador, com furo central adequado à broca (2,5mm ??) e o ressalto que fará o escariamento na medida adequada.
Até já sei QUEM PODE fazer essa ferramenta... ...talvez algum ferramenteiro conhecido... (Gilii...)